Enseñanza de la matemática desde la construcción sistémica. Elementos estructurales de un modelo didáctico

Teaching Mathematics from systemic construction. Structural elements of a didactic model

Ensino de matemática a partir da construção sistêmica. Elementos estruturais de um modelo didático

El objetivo de esta investigación consistió en establecer elementos estructurales de un modelo didáctico para la enseñanza de la matemática desde la construcción sistémica. Teóricamente se fundamentó en el triángulo didáctico y en la teoría general de sistemas. La metodología fue cualitativo. Desarrollándose una investigación documental, apoyada en técnicas como el análisis, para procesar la información. Como resultado se encontró que existe una relación entre los elementos de un sistema y los elementos educativos para la enseñanza de la matemática, por tanto se logró establecer que un modelo didáctico para la enseñanza de la matemática desde la construcción sistémica debe estructurarse en cinco elementos: ambiente, marco jurídico, estrategias metodológicas, ejecución sistémica y evaluación. Como consideraciones finales se destaca la utilización del enfoque sistémico conjugado con el proceso de enseñanza de la Matemática es un hecho didáctico que no puede ser explicado mediante el estudio individual de sus componentes.

Palabras clave: Enseñanza de las Matemáticas, construcción sistémica, modelo, educación.

The objective of this research was to establish structural elements of a didactic model for the teaching of mathematics from systemic construction. Theoretically it was based on the didactic triangle and the general theory of systems. The methodology was qualitative. Developing a documentary investigation, supported by techniques such as analysis, to process information. As a result, it was found that there is a relationship between the elements of a system and the educational elements for the teaching of mathematics, therefore it was possible to establish that a didactic model for the teaching of mathematics from systemic construction must be structured into five elements: environment, legal framework, methodological strategies, systemic execution and evaluation. As final considerations, the use of the systemic approach combined with the process of teaching Mathematics is a didactic fact that cannot be explained by the individual study of its components.

O objetivo desta pesquisa foi estabelecer elementos estruturais de um modelo didático para o ensino de matemática a partir da construção sistêmica. Teoricamente, foi baseado no triângulo didático e na teoria geral dos sistemas. A metodologia foi qualitativa. Desenvolver uma investigação documental, apoiada por técnicas como análise, para processar as informações. Como resultado, verificou-se que existe uma relação entre os elementos de um sistema e os elementos educacionais para o ensino de matemática, portanto, estabeleceu-se que um modelo didático para o ensino de matemática a partir da construção sistêmica deve ser estruturado em cinco elementos: ambiente, estrutura legal, estratégias metodológicas, execução e avaliação sistêmica. Como considerações finais, destaca-se o uso da abordagem sistêmica combinada com o processo de ensino de Matemática, fato didático que não pode ser explicado pelo estudo individual de seus componentes.

Palavras-chave: Ensino de Matemática, construção sistêmica, modelo, educação.

La enseñanza de la matemática ha sido abordada por investigadores de distintos países, el problema se viene reflejando desde hace años atrás en los estudiantes que cursan esta asignatura, se podría mencionar que por una parte es el docente que no dispone de los conocimientos o recursos para impartir una buena clase y por eso los estudiantes no aprenden matemática. Pero surge la interrogante: ¿Qué pasa con los estudiantes de la clase que si cuentan con el docente capacitado y dispone de los recursos necesarios?, es decir se da una buena clase, aun con las condiciones adecuadas para un buen proceso de enseñanza, los estudiantes no aprenden matemática, por tal razón, se considera el proceso de enseñanza de la matemática como una situación compleja (Fandiño y D´amore (2013); D´amore, 2016).

De lo mencionado, se puede inferir que existen factores que influyen en la enseñanza de la matemática y que deben ser estudiados, esta situación afecta a varios países, en particular a Ecuador, y por su puesto sus causas podrían ser diferentes unas de otras, es por tal motivo, desde hace años atrás se ha establecido una disciplina que se encarga de la enseñanza de la matemática y sus falencias, esta se denomina Didáctica de la Matemática, que pretende esclarecer y mejorar el proceso educativo (Fandiño y D´amore, 2013).

A nivel internacional existe un programa denominado: Programme for International Student Assessment (PISA), al traducirse al español significa Programa para la evaluación Internacional de Alumnos. Se trata de un proyecto de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE), que tiene como objetivo evaluar la formación de los estudiantes, cuando estos alcanzan una etapa denominada final de la enseñanza obligatoria, en una edad promedio de 15 años, esta evaluación se realiza cada tres años en las áreas de: ciencia, lectura y matemática, cuya la finalidad es aportar con información para que los gobiernos analicen las políticas educativas, así lo menciona OCDE (2017):

Creado en 1997, representa un compromiso por parte de los gobiernos de los países de la OCDE y países asociados para medir los resultados de los sistemas educativos en lo que respecta al rendimiento del alumnado, dentro de un marco común y acordado a nivel internacional. […] PISA es un esfuerzo colaborativo que aglutina los conocimientos científicos de los países y economías participantes, dirigido conjuntamente por sus gobiernos, basándose en políticas compartidos. (p.4)

En la figura 1 y la tabla 1, se muestran los resultados estadísticos del Programa Internacional para la evaluación de estudiantes o informes PISA 2015, se tomaron los resultados de la evaluación aplicada a los estudiantes para medir el rendimiento académico en matemática, encontrándose más del 50% de las instituciones de 72 países evaluados por debajo de la media estadísticamente hablando, entre ellos: Colombia, Perú, Uruguay, Brasil. Con calificaciones en matemática por debajo de la media propuesta, esto evidenció una debilidad en los aprendizajes de los estudiantes en el área referida.

Al analizar el significado del promedio OCDE, se considera la figura 1 y la tabla 1, en 2015 fue de 490 puntos correspondientes al nivel 3. Las características de este nivel, se pueden sintetizar en aspectos relacionados con la ejecución de procedimientos que se describen de forma clara, donde se requiere la toma de decisiones lógicas y secuenciales. Para resolver problemas suelen aplicarse estrategias simples y sencillas, por lo que su interpretación del problema es consistente para un modelo sencillo (INEVAL Y OCDE, 2018).

Su razonamiento es directo basado en diferentes fuentes de información por ello saben interpretar y utilizar sus representaciones, en este nivel no se evidencia inferencias propias. Se evidencia un nivel entre bajo y medio, en cuanto al manejo de porcentajes, fracciones, números decimales, relaciones y proporciones. En conclusión, se puede inferir que las soluciones propuestas por los estudiantes bajo este nivel, se evidencia que pueden interpretar y razonar en un nivel básico (INEVAL Y OCDE, 2018). Sin embargo, como se mencionó los resultados de las evaluaciones permiten inferir que una gran cantidad de los estudiantes no llegan este nivel propuesto, evidenciando dificultades en el área de conocimiento de las matemáticas.

Por otra parte, como alternativas de solución, en las dos últimas décadas se ha observado un incremento en el estudio y creación de estrategias en el área de enseñanza de matemáticas, para que los contenidos se vean aplicados en el contexto, esto con la finalidad que el aprendizaje obtenido en las aulas trascienda al ámbito práctico y no se quede en un mero conocimiento teórico en las aulas y que al no ser aplicado en la cotidianidad pierda el interés de los estudiantes por aprender los conocimientos que están enmarcados en esta disciplina, cabe mencionar también que se debe poner mucho énfasis en la relación de la matemática con otras asignaturas y su integración en el diario vivir (Pérez, 2010 y Zambrano, 2015).

En el ámbito ecuatoriano, se tienen 2 ciclos escolares diferenciados por el inicio y finalización de cada ciclo lectivo, el currículo está regido por el Ministerio de Educación del Ecuador (MINEDUC), en lo relacionado a la educación desde los niveles educativos de preparatoria, inicial, básica y bachillerato técnico o general y es el organismo que a través de las autoridades regula el proceso educativo tanto en instituciones fiscales, particulares y fiscomisionales, como lo establece la Constitución de la República del Ecuador en su Art. 344 expedida por la Asamblea Nacional Constituyente (2008).

La asignatura de matemática es considerada dentro de las asignaturas del tronco común dentro del currículo de educación básica y bachillerato MINEDUC (2018). La enseñanza y aprendizaje de esta ciencia adquiere relevancia no sólo por ser una asignatura del tronco común, también porque permite en el estudiante cambiar su perspectiva de las cosas y resolución de problemas mediante un pensamiento estructurado en la vida práctica desde épocas antiguas (Estrada, 2015), estos cambios en la forma de pensar generan cambios en el estudiante que pueden ser internos o externos (Herrera, Montenegro y Poveda, 2012), es por ello que adquiere importancia su enseñanza por parte del docente y su aprendizaje por parte de los estudiantes.

En Ecuador, existe un organismo encargado de la evaluación a instituciones educativas, directivos, docentes y estudiantes del sistema de educación desde el nivel inicial, hasta el bachillerato; con la finalidad de evidenciar la calidad en la educación, denominado Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEVAL), el cual, en el año lectivo 2017-2018, realizó una evaluación a los estudiantes de tercer año bachillerato denominada SER BACHILLER. En referencia al Dominio Matemático se obtienen los siguientes resultados: La media aritmética de las notas en el régimen sierra es de 7.71, en el régimen costa 7.29, a nivel nacional 7.47, estas evaluaciones fueron aplicadas a 294579 estudiantes, de ellos 143572 hombres y 151007 mujeres de 3557 predios educativos (INEVAL, 2018a).

Esto evidencia un nivel de dominio matemático denominado elemental porque su media aritmética es menor a 8 puntos de un total de 10. En la figura 2 y la Tabla 2, se evidencian los resultados, cabe mencionar que son puntajes de todas las instituciones del país, es decir en todo tipo de sostenimiento: fiscales, fiscomisionales, particulares y municipales (INEVAL, 2018a).

Estos resultados al ser contrastados con la estadística obtenida en la misma temática, en cuanto al tipo de sostenimiento, se evidencia, en las instituciones de sostenimiento fiscal una reducción en el promedio del dominio matemático, esto podría tener diferentes causas.

Las dificultades en el aprendizaje de la matemática por parte de los estudiantes y su aplicación en las evaluaciones realizadas por diferentes organismos se ha visto relacionada con varios aspectos entre ellos la praxis del docente esto es corroborado por OCDE (2018) que menciona: “el tiempo que dedican los estudiantes a aprender y el modo en que se enseñan las ciencias están más estrechamente relacionados con el rendimiento de las ciencias y las expectativas de realización de una carrera relacionada con las ciencias” (p.1).

Es entorno a la forma como el docente logra que los estudiantes adquieran el conocimiento que surgen varias investigaciones como la realizada por Jaramillo (2014), donde manifiesta un problema evidenciado en el ciclo de enseñanza aprendizaje en las aulas, esto es, la enseñanza por parte del docente incide en el propio aprendizaje por parte del estudiante; y a pesar que han transcurrido varios siglos se siguen manteniendo las prácticas ancestrales, donde el docente expone el contenido de la asignatura y los estudiantes escuchan y transcriben teniendo que memorizar lo expuesto en la clase.

Al respecto de esta problemática Baragatti (2019), reflexiona que el estudiante resuelve los problemas matemáticos de forma mecánica, aunque el estudiante resuelve los problemas pero no entiende, posiblemente no hay reflexión, una de las posibles causas se debe al docente que no logra consolidar los conocimientos mediante la reflexión y el análisis con la finalidad de obtener un aprendizaje significativo, también manifiesta que en su etapa de estudiante tuvo algunos inconvenientes en el proceso de enseñanza pues considera que no se produjo un proceso educativo adecuado por parte del docente, agrega además que en la actualidad en algunos institutos los contenidos se imparten mecánicamente.

Esta situación se evidencia en la media aritmética obtenida de 7.45, que representa el promedio de los 102 estudiantes (50 hombres y 52 mujeres), del tercer año de bachillerato en las pruebas ser bachiller 2018-2019 ciclo costa de la unidad educativa “Prócer Manuel Quiroga” (INEVAL, 2019a), ubicada en la vía Chone Km 21, recinto Nuevo Israel, de la ciudad de Santo Domingo de los Colorados, misma que cuenta con una población estudiantil cercana a los 1300 estudiantes en todos sus niveles, en el nivel de bachillerato existen aproximadamente 300 estudiantes distribuidos desde primero a tercero de bachillerato en las especialidades de contabilidad, agropecuaria y ciencias generales.

Sin embargo, al verificarse los resultados por asignatura los resultados son menos favorables pues como se observa en la figura 3, un 15,7% está en el rango de insuficiente, el 52% está en el rango de elemental, dando casi un subtotal de 70% que no llega al rango de satisfactorio, en el porcentaje de estudiantes con rango de excelente es de 0% en el área de Matemática (INEVAL, 2019a).

Al comparar los resultados obtenidos en el año lectivo 2018-2019, con los que se muestran en el ciclo 2017-2018, se evidencia una cercanía entre los valores, es decir se mantiene el rango de elemental en la asignatura de Matemática en el régimen costa y en la institución (figura 4).

Este escenario se repite en otros centros educativos del país, de acuerdo a las estadísticas presentadas por el INEVAL en el año lectivo 2017-2018 con una media aritmética nacional de 7.47 en el dominio de matemáticas, como se evidencia en su sitio web oficial y en la Figura 2. Al compararse con la media aritmética obtenida por los estudiantes de la institución investigada (7,61), se puede calcular que existe una diferencia de 0.14 puntos, es decir, es aproximadamente la misma medida obtenida a nivel global. Sin embargo, se reduce el promedio en instituciones de sostenimiento fiscal 7,33 como se observa en la Figura 2.

Una de las posibles causas podría deberse a la didáctica utilizada por los docentes en el aula, pues los tiempos han cambiado, las personas han cambiado, pero en algunos aspectos el docente sigue manteniendo el esquema de tiempos ancestrales en educación. El agravamiento del problema evidenciado provoca que los estudiantes no puedan acceder a un cupo en una carrera en las diferentes universidades, pero con el avance del tiempo se evidenciará un decreciente número de profesionales que logren culminar una carrera universitaria y ser un aporte para la sociedad.

Esto evidencia la importancia de abordar el problema señalado porque traería beneficios a los estudiantes en el logro de los aprendizajes en la asignatura, incremento de la puntuación en las evaluaciones de las postulaciones a la educación superior y su posterior aplicación en la vida cotidiana, a las instituciones educativas porque potencializaría su prestigio al obtener una mejor puntuación global en las evaluaciones Ser Bachiller.

Ahora bien, para la Didáctica de la Matemática el enfoque sistémico es importante, pues, además del sistema de enseñanza de esta cienca en su conjunto, y de los propios sistemas conceptuales, hay que considerar los sistemas didácticos materializados en una interacción educativa, cuyos subsistemas principales son: el profesor, los alumnos y el saber enseñado.

De la problemática planteada se plantean la siguiente interrogante: ¿Cuáles deben ser los elementos estructurales de un modelo didáctico para la enseñanza de la matemática desde la construcción sistémica? Planteando como objetivo establecer los elementos estructurales de un modelo didáctico para la enseñanza de la matemática desde la construcción sistémica.

Es idóneo comenzar con algunas definiciones del concepto de sistemas, el cual ha sido utilizado por dos líneas de pensamiento. La primera es la teoría de sistemas generales, corriente iniciada por Von Bertalanffy y continuada por Boulding y otros. El segundo movimiento se conoce con el nombre de ingeniería de sistemas. En general, ante la palabra sistemas, todos los que la han definido están de acuerdo en que es un conjunto de partes coordinadas y en interacción para alcanzar un conjunto de objetivos. Otra definición, que agrega características adicionales, señala que un sistema es un grupo de partes y objetos que interactúan y que forman un todo o que se encuentran bajo la influencia de fuerzas en alguna relación definida (Johansen, 1993).

Para la definición de sistema se consideran dos conceptos, esto son, supersistema y subsistema. De este modo, un sistema tiene relación con su medio inmediato, por una parte, y con sus principales componentes por otra. El subsistema se define como un conjunto de partes e interrelaciones que se encuentra estructural y funcionalmente, dentro de un sistema mayor, y posee sus mismas características. Así los subsistemas son sistemas más pequeños dentro de sistemas mayores. En este sentido, los sistemas se convierten en subsistemas de un supersistema.

Describe un nivel de construcción teórico de modelos que se sitúa entre las construcciones altamente generalizadas de las matemáticas puras y las teorías específicas de las disciplinas especializadas y que en estos últimos años ha hecho sentir, cada vez más fuerte, la necesidad de un cuerpo sistemático de construcciones teóricas que pueda discutir, analizar y explicar las relaciones generales del mundo empírico (p. 20).

Sesento (2008), opina que en general los principales elementos de un sistema abierto son cinco, a saber: su corriente de entrada, su proceso de conversión, su corriente de salida, la comunicación de retroalimentación y el ambiente.

Los sistemas, a través de su corriente de entrada, reciben la energía necesaria para su funcionamiento y mantención. Sin embargo, existe una corriente de entrada particular que no responde a ley de la conservación de la energía, esta es la información, por ejemplo, al exponer cierto conocimiento, éste está entrando a sistemas que lo reciben, sin embargo, no sale de la memoria del expositor, este conocimiento queda también en el ponente. La información se comporta de acuerdo a la ley de los incrementos, que dice que la cantidad de información que permanece en el sistema no es igual a la diferencia entre lo que entra y lo que sale, sino que es igual a la información que existe más la que entra, es decir, hay una agregación neta en la entrada, y la salida no elimina información del sistema. Con esto se explica aquello de que la mejor manera de aprender es enseñando.

Todo sistema realiza alguna función. Así, la energía que importan los sistemas sirve para mover y hacer actuar sus mecanismos particulares con el fin de alcanzar los objetivos para los cuales fueron diseñados. En otras palabras, los sistemas convierten o transforman la energía que importan en otro tipo de energía, que representa la producción característica del sistema particular. Ahora bien, todo sistema puede ser dividido en subsistemas y que éstos a su vez poseen las mismas características de un sistema. Por tanto, cada uno de los subsistemas posee un proceso de conversión mediante ese subsistema.

La corriente de salida equivale a la exportación que el sistema hace al medio. Generalmente existen varias corrientes de salida. En general se puede dividir estas corrientes de salida como positivas y negativas para el medio y entorno, entendiéndose aquí por medio todos aquellos otros sistemas (o supersistemas) que utilizan de una forma u otra la energía que exporta ese sistema.

¿Cómo sabe el sistema cuándo ha alcanzado su objetivo? o ¿cuándo existe diferencia entre la conducta que desarrolla para lograr el objetivo y el objetivo mismo? Así, la comunicación de retroalimentación es la información que indica cómo lo está haciendo el sistema en la búsqueda de su objetivo, y que es introducido nuevamente al sistema con el fin de que se lleven a cabo las correcciones necesarias para lograr su objetivo. Desde este punto de vista, es un mecanismo de control que posee el sistema para asegurar el logro de su meta.

Es el medio que envuelve externamente el sistema. Está en constante interacción con el sistema, ya que éste recibe entradas, las procesa y efectúa salidas.

Los significados del concepto de modelo son numerosos, diversos autores lo han definido durante varios años; al respecto Caracheo (2002), opina que este puede considerarse, como representación de la realidad, explicación de un fenómeno, ideal digno de imitarse, paradigma, canon, patrón o guía de acción; idealización de la realidad; arquetipo, prototipo, uno entre una serie de objetos similares, un conjunto de elementos esenciales o los supuestos teóricos de un sistema social.

Anteriormente, Mosterin (1984), alude a él cuando se refiere a sistemas que dan cuenta de la teoría. Por su parte, Medina (1982), define el modelo como la elaboración conceptual que explica la realidad, mediante la selección óptima de los elementos básicos de la misma, descubriendo la interacción que existe entre ellos.

Según Bar (2000), los modelos operan como puentes entre la teoría y la experiencia, es decir, permiten seleccionar o desechar las hipótesis en juego, o interpretar resultados experimentales en función de cierta teoría. Construir un modelo es una operación dirigida por la precomprensión que concibe una cierta forma de evolución del sistema.

El modelo también es definido por Aguilera (2000), como una representación parcial de la realidad; esto se refiere a que no es posible explicar una totalidad, ni incluir todas las variables que esta pueda tener, por lo que se refiere más bien a la explicación de un fenómeno o proceso específico, visto siempre desde el punto de vista de su autor.

Medina (1982) propone una serie de elementos a ser considerados en la elaboración o propuesta de modelos didácticos en general, estos son cinco, a saber: el ambiente extraescolar e intraescolar; el marco jurídico organizativo; las estrategias, contenidos, métodos, técnicas, recursos; la ejecución y la evaluación. A continuación, se describen cada uno de ellos.

El ambiente extraescolar e intraescolar; este autor recomienda el estudio pormenorizado del ambiente, en cuanto a las condiciones sociales y económicas tanto del alumno como de su familia, el ambiente donde está la comunidad escolar.

El marco jurídico organizativo; el profesor, en función del diagnóstico anterior, ha de plantearse los objetivos que desea alcanzar, para lo que ha de tener presente la Planificación general de la enseñanza, el proyecto educativo de la institución y los objetivos del área y curso. Este marco jurídico organizativo facilita al profesor su labor, atendiendo a la realidad ambiental y personal de cada alumno y del grupo con el que trabaja.

Las estrategias, contenidos, métodos, interacción, actividades, tiempo activo, recursos y organización. Donde el contenido elegido ha de ser la síntesis cultural más apropiada al alumno, que explique del modo más actual y riguroso la realidad que desea conocer, desde la perspectiva, psicológica, epistemológica y sociológica. Con una metodología didáctica, sistematizada, basada en decisiones razonadas que han de ser tomadas coherente y reflexivamente para propiciar el logro de los fines y metas propuestas.

La evaluación, es vista como la posibilidad de corregir fallas o ajustar detalles educativos para su mejor funcionamiento.

Ibañez (2007) explica que uno de los modelos mayormente citados sobre tópicos de la enseñanza escolar, sobre todo en la literatura francesa, es el llamado triángulo pedagógico de Houssaye (1988), quien lo describe como un sistema de referencia explicativo o de representación gráfica de las relaciones entre el saber, el profesor y el alumno. En este triángulo, los vértices representan al profesor, el alumno y el saber, y los lados, las relaciones que se establecen entre estos factores educativos.

Houssaye (1988), denomina enseñanza a la relación que se establece entre profesor-saber; aprendizaje a la relación alumno-saber; y formación a la relación profesor-alumno, tal como se muestra en la figura 6. En esta investigación no se harán descripciones conceptuales profundas teóricamente sobre esta perspectiva ni sobre los elementos y relaciones que la constituyen, tan sólo se pretende resaltar su configuración general y los elementos que la constituyen, los cuales guiarán el desarrollo del modelo a ser construido posteriormente.

En este sentido, D’Amore y Fandiño (2002), describen de una forma breve y resumida el triángulo, estableciendo una relación entre vértices y lados de la siguiente forma:

El lado maestro - alumno es en ocasiones resumido en el verbo animar, esto porque en tal relación se tiende a ver sólo la relación del maestro sobre el alumno.

Bajo esta perspectiva, se distinguen, por lo menos, tres categorías que están implicadas en el proceso: los elementos, las relaciones y los procesos.

Los procesos, identifican la modalidad de funcionamiento del sistema (por ejemplo: devolución, contrato didáctico, transposición, entre otros, los cuales están ligados al funcionamiento del mismo).

La metodología seguida para el desarrollo de esta investigación se basó en el paradigma cualitativo, como una investigación analítica e integradora. El método se basó en la investigación documental, apoyada en técnicas como el análisis para procesar la información. Se empleó un diseño de investigación bibliográfica, específicamente de tercer nivel, el cual constituye la metateoría, que explora los constructos teóricos usados por otros investigadores y sus efectos en los hallazgos e interpretaciones de los datos. Se utilizaron datos secundarios externos, estos son aquellos recopilados por fuentes externas, los mismos se consiguieron difundidos en publicaciones académicas, en libros, o en internet.

La población quedó conformada por todo el universo de documentos asociados con los elementos estructurales de un modelo didáctico para la enseñanza de la matemática desde la construcción sistémica, tales como libros y artículos publicados en revista científicas reconocidas, memorias de eventos, blogs y páginas web, de acuerdo con la información obtenida a través de la navegación en Internet. Al evaluar todo el universo poblacional y luego de realizar el estudio bibliométrico, se obtuvo como resultado un censo poblacional de 30 documentos.

El análisis de datos se realizó mediante la técnica de interpretación de textos llamada análisis de contenidos. La base del análisis seleccionada en cada categoría de análisis, estuvo constituida por frases y párrafos. Consecuentemente, la unidad de análisis fue el grupo de palabras referidas a modelo didáctico, enseñanza de la matemática y la construcción sistémica. Concretamente se estudiaron a través del análisis de contenido:

La unidad de análisis quedó configurada de la siguiente forma: “Unidad de registro”: frases y/o párrafos. “Unidad de contexto”: textos escritos por diversos autores. “Unidad de enumeración”: existencia o no de tema relativo a las categorías estudiadas

Los elementos estructurales de un modelo didáctico para la enseñanza de la matemática desde la construcción sistémica se fundamentaron en el triángulo didáctico y en la teoría general de sistemas. En este sentido, se consideró el modelo como sistema abierto, incluido dentro de otros sistemas, el mismo está basado en cinco elementos estructurales según Medina (1982), los cuales se pueden observar en la figura 6.

Figura 6. Elementos estructurales de un modelo teórico para la construcción sistémica en Didáctica de la matemática.

El primer elemento a ser considerado es el ambiente, aquí se ha tomado el extraescolar y el intraescolar, partiendo de la premisa de que el funcionamiento del sistema de enseñanza posee un estilo particular en cada situación y contexto; dependiendo del sistema social, cultural el cual tiene características propias y específicas, más allá de los niveles estructurales.

Desde el punto de vista intraescolar el modelo tendrá una dinámica evolutiva e interactiva, que no sólo se ve afectada por las relaciones intrasistémicas, sino que hay procesos de relación intersistémica; esto debido a que el modelo es abierto y recibe la influencia del exterior, hasta el punto de que puede quedar modificado sustancialmente por otros sistemas que lo rodean. En este sentido, cada acción que se desarrolle está influenciada por el entorno social, económico, político y cultural donde se encuentra la Unidad Educativa “Prócer Manuel Quiroga”, de Ecuador, provincia de Santo Domingo de los Tsáchilas, Cantón Santo Domingo.

El marco jurídico organizativo institucional constituye el segundo elemento, se ha de tener presente la Planificación general de la enseñanza, el proyecto educativo de la institución y los objetivos del área y curso. Este marco jurídico organizativo facilita al profesor su labor, atendiendo a la realidad de cada alumno y del grupo.

El tercer elemento a considerar son las estrategias, contenidos, métodos, interacción, actividades, tiempo activo, recursos y organización. Donde el contenido elegido ha de ser la síntesis cultural más apropiada al alumno, que explique del modo más actual y riguroso la realidad que desea conocer, desde la perspectiva, psicológica, epistemológica y sociológica. Con una metodología didáctica, sistematizada, basada en decisiones razonadas que han de ser tomadas coherente y reflexivamente para propiciar el logro de los fines y metas propuestas.

Es importante destacar que entre los recursos a ser considerados juega un rol fundamental las Tecnología de la Comunicación y la Información (TIC), como elemento motivante para lograr aprendizajes y construcción de conocimiento. El cuarto elemento lo constituye la ejecución, esta contempla la puesta en práctica del proceso educativo, con todos los elementos y consideraciones descritas en los elementos anteriores. Por último, la evaluación, constituye el quinto elemento a considerar, esta es asumida como la posibilidad de corregir fallas o ajustar detalles. Forma parte de la evolución, del círculo virtuoso propio de la complejidad de los sistemas donde intervienen los seres humanos.

Como consideraciones finales es importante resaltar que el desarrollo de esta investigación estuvo orientado a ofrecer aportes para el mejoramiento de la calidad del proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática, mediante la posterior construcción de un modelo teórico a ser desarrollado en otras investigaciones. Éste debe estar dirigido a la excelencia como meta educativa.

Con relación a la pregunta de investigación formulada: ¿Cuáles deben ser los elementos estructurales de un modelo didáctico para la enseñanza de la matemática desde la construcción sistémica? Y al objetivo propuesto se destaca lo siguiente:

Con relación a la descripción de los aspectos de una postura sistémica en didáctica de la matemática, conviene puntualizar tres aspectos los cuales son integrar en una postura de este carácter, a saber, la utilización del enfoque sistémico, conjugado con la consideración del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática como un hecho didáctico que no puede ser explicado mediante el estudio individual de cada uno de sus componentes, la aceptación de la teoría constructivista y la adopción de la perspectiva crítica, para mejorar el proceso de enseñanza de la Matemática.

Existe una relación entre los elementos de un sistema y los elementos educativos para la enseñanza de la matemática, se notó que la utilización de este enfoque, ha de ser aplicado a sistemas abiertos y dinámicos, como es el caso del sistema educativo, el cual establece una dinámica interactiva, única que afecta a los propios elementos, tanto en su individualidad como en las relaciones con el todo.

Los elementos estructurales de un modelo didáctico a ser construido, se fundamentan en el triángulo didáctico y en la teoría general de sistemas, de los cuales se deriva la estructura del mismo. Fue considerado como un sistema abierto, incluido dentro de otros sistemas, el mismo quedó conformado por cinco elementos estructurales, según Medina (1982), a saber, el ambiente extraescolar e intraescolar; el marco jurídico organizativo; las estrategias, contenidos, métodos, técnicas, recursos; la ejecución y la evaluación.

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1 Docente del Ministerio de Educación del Ecuador en el área de Matemática. Licenciado en Ciencias de la Educación Mención Informática. Magister en Ciencias de la Educación. Cursando un postgrado en la Universidad del Zulia en la facultad de Humanidades

2 Profesora Titular de la Universidad del Zulia, Venezuela, en las áreas de matemática y física. Doctora en Ciencias Humanas. Autora y coautora de libros y artículos científicos. Tutora de tesis de Maestría y Doctorado. Adscrita al Centro de Estudios Matemáticos y Físicos, con proyectos de investigación inscritos en CONDES-LUZ. Línea de investigación: “Didáctica de la matemática y de las ciencias naturales

Categoría	Promedio 2016 - 2017	Promedio 2017 - 2018
Nacional	7,52	7,62
Régimen Costa	7,42	7,50
Régimen Sierra	7,64	7,80